Dedução das equações de carga e descarga dos capacitores utilizando equações diferenciais de primeira ordem

Estava conversando com o meu aluno Mauro há alguns dias, e ele estava comentando como fica fácil de entender as equações dos circuitos RC e RL série quando as deduzimos utilizando equações diferenciais de primeira ordem.

Então, pra quem nunca se aventurou nessa dedução, aí vai…

Nesse primeiro tutorial, estarei deduzindo apenas o circuito RC. O circuito RL ficará para um próximo post.

Para o equacionamento das fórmulas correspondentes a carga do capacitor, imagine que com o capacitor totalmente descarregado, a chave mostrada no circuito abaixo é colocada na posição 1 conectando a fonte E ao circuito.

untitled4

Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:

E que a tensão no capacitor é dada por:

E que:

Por Kirchhoff, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:

Para resolvermos essa equação diferencial de primeira ordem e, assim, isolarmos q(t), dividiremos todos os termos por R:

Como o termo RC é a constante de tempo t do circuito, temos:

Existem várias maneiras de se resolver essa equação diferencial. Aqui vou utilizar o método que julgo mais simples.

Tomando o coeficiente de q, podemos dizer que:

Multiplicando todos os termos da EDO por u(t) e desenvolvendo a expressão temos:

Como q(0)=0, podemos encontrar K resolvendo o PVI:

Assim:

untitled3

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no capacitor é:

E que a tensão no resistor é:

E, finalmente, a corrente do circuito pode ser dada por:

Para o equacionamento das fórmulas correspondentes a descarga do capacitor, iremos assumir agora que o capacitor já está totalmente carregado e, assim, passaremos a chave para a posição 2, onde a fonte é desconectada do circuito e o capacitor será descarregado sobre o resistor.

Nessas condições, analisando a nova malha pela lei das tensões de Kirchhoff, e trabalhando matematicamente a expressão, como fizemos anteriormente no caso da carga do capacitor, chegaremos a seguinte EDO:

Resolvendo a EDO teremos:

Resolvendo o PVI onde q(0)=C.VC onde VC=E, teremos:

Assim teremos que:

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no capacitor é:

E que a tensão no resistor é:

E, finalmente, a corrente do circuito pode ser dada por:

Para quem nunca tinha visto essas deduções, à primeira vista elas podem parecer um pouco complicadas, mas depois de bem estudadas, elas se tornam bem mais simples.

Em breve farei a dedução dos circuitos RL série e colocarei aqui pra vocês. Até lá…

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    • LEONARDO
    • 1 julho, 2009

    PARABENS MUITO BOM, O SEU CONHECIMENTO DE EQUAÇÕES
    É BEM DEFINIDA E CLARA, E É COMO VOCE DISSE
    AGORA ESSAS FORMULAS PARA MIM PARESSE BEM COMPLICADAS
    MAS IREI ESTUDALAS A FIM DE DESCOMPLICALAS E ENTENDELAS, PARA QUE EU POSSA ME TORNAR UM BOM TÉCNICO EM ELETRÔNICA NUM FUTURO PROXIMO OBRIGADO!
    AGUARDO OUTROS COMENTARIOS PARA PODER LER E ESTUDAR
    APRENDER CADA VEZ MAIS.

      • camilasoares
      • 2 julho, 2009

      Boa noite Leonardo.
      Muito obrigada pelos parabéns. Que bom que você gostou do conteúdo do blog.
      Com certeza estarei providenciando posts que te ajudarão a entender mais de eletrônica. Eu atualizo o Engenheirando semanalmente. ;)
      Abração e espero te encontrar por aqui muitas outras vezes.

    • Paulo
    • 14 julho, 2009

    Parabéns,
    Amanhã tenho prova de eletrotecnica e as suas demonstrações dessas formulas, ajudaram em meus estudos
    Espero por novas demonstrações…
    O seu site ja esta add aos meus favoritos…

      • camilasoares
      • 18 julho, 2009

      Oi Paulo.
      Fico tão feliz em saber que te ajudei!!!
      Com certeza estarei colocando mais posts com este tipo de assunto aqui no blog.
      Um abração e um ótimo final de semana pra você… obrigada pela visita. ;)

    • clayton
    • 21 julho, 2009

    vc tem questões resolvidas de circuito RC??????
    se tiver me envie!

      • camilasoares
      • 21 julho, 2009

      Oi Clayton.
      Infelizmente eu não tenho nada resolvido que dê para te enviar.
      Mas eu conheço um blog só de exercícios de engenharia resolvidos passo a passo. Pode ser que você encontre alguma coisa lá. E tem outra, nesse blog você pode passar o exercício para o Mauro, que é dono do blog, que ele resolve o exercício e posta pra você. É bem legal. O endereço é http://blogdoteta.wordpress.com/.
      Abração e muito obrigada pela sua visita…

    • Mario
    • 31 julho, 2009

    Foi muito util para mim, mas me ficou uma dúvida, se puder me esclarecer ficarei agradecido. é na parte da equação da carga do capacitor… quando vc multiplica todos os termos da EDO por u(t), a passagem da primeira para a segunda equação nao ficou clara…

      • camilasoares
      • 1 agosto, 2009

      Oi Mario.
      Realmente esta passagem confunde todo mundo.
      O que eu fiz foi pegar a primeira equação e integrar a expressão que está do lado esquerdo do seu sinal de igual e reescrevê-la como uma derivada na segunda equação. Em outras palavras, se você derivar q.e^(t/tal) você encontrará a expressão que está do lado esquerdo do sinal de igual da primeira expressão.
      Não sei se facilitei a sua vida ou se te confundi ainda mais!!! :)
      Caso não tenha ficado claro, deixe um comentário para que eu monte uma explicação mais detalhada para você e te envie por email.
      Abraço.

    • Mario
    • 3 agosto, 2009

    ainda nao ficou claro, faz tempo q estudei as regras de integração, se vc puder explicar mais detalhadamente será de grande valor. obrigado!!!!

    • Mario
    • 13 agosto, 2009

    Você é a melhor…

      • camilasoares
      • 16 agosto, 2009

      Ah Mario… rsrsrs… Nem tanto vai… rsrsrs… Desse jeito vou ficar convencida!!! kkkkk

    • aim me ajuuda tbn?
    • 10 setembro, 2009

    preciso de uma dedução naão consigu achar em lugar algum

      • camilasoares
      • 20 setembro, 2009

      Olá…
      Dedução do que você precisa?
      Abraço.

    • Luis Henrique
    • 22 setembro, 2009

    eu to precisando de uma dedução das formulas de XC(reatancia capacitiva), Z(impedancia) e I=VAC/Z.
    agradeço a ajuda

      • camilasoares
      • 8 novembro, 2009

      Olá Luis.
      Não tenho essas deduções… mas posso procurar pra vc… Se conseguir algo, te aviso.
      Abração.

    • Paulo Ricardo
    • 27 maio, 2010

    Não entendi de onde você tirou esse u(t). Conheço essa equação diferencial mas o numero neperiano vem do ln que vem da integração.
    Agora não entendi a sua matemágica do u(t).

    • tatiana
    • 28 agosto, 2011

    Oi,

    a dedução que vc postou sobre carga e descarga de capacitores foi
    muito esclarecedora.

    Obrigada e espero que vc continue postando coisas novas. =D

    • Cândido
    • 12 setembro, 2011

    muito obrigada,esta dedução será muito util para mim.

    • Athila
    • 2 dezembro, 2011

    Vc têm a demonstração das leis de kirchhoff ? gostaria de vê-la, pois já procurei muito e não as encontrei, ah e parabéns pelo blog maravilhoso …..seguidor e frequentador assíduo desde já. abraços !!

    • pedro
    • 30 setembro, 2012

    por favor, voce poderia me explicar como se chega na equação de descarga através de kirchhoff?. quando eu faço, sempre dá “q/C=
    Ri”… obrigado

  1. Gostei de sua página você também tem resumo de circuitos RLC, LC RL com equações com demostração da expressãod a carga e corrente? e equações diferenciais?
    O que encontrei ate agora esta bem escrito parabéns

    • Moriart
    • 29 novembro, 2012

    Eu tenho uma pergunta um tanto simples, mas é algo que eu esqueci pois já estudei faz tempo,
    na equação abaixo o que é o “e”? o que ele significa?
    Q(t)=Ceˆkt sendo que C e K são constantes nulas
    espero a resposta o mais urgente possivel

    • Harrisson david assis santos
    • 11 janeiro, 2013

    Essa dedução é trivial e você postou elas parecendo um TCC. Se qualquer um pesquisar no google existirá milhares de arquivos com essa demonstração, aliás, no livro texto de equações diferencias a mesma é deduzida no livro texto de tão trivial que é.

  2. Coisa de maluco isso.
    Sou hobista e adoro eletrônica e ficou perfeita essa explicação, só faltou uma coisa: Exemplo prático. Isso ajuda bastante pra quem não entende nada. Parabéns Camila ta no favoritos aqui. Obrigado pela ajuda.

    • joana
    • 21 novembro, 2013

    Puta merda….nunca vi essa dedução tão bem esclarecida como agora!!! Bem que o Alaor deveria ler esta dedução e colocar no livro dele!!!
    muiiiito obrigada
    =)))

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