Como resolver Equações Diferenciais de 1ª Ordem

Meu querido leitor Mario ficou com dúvida na solução de uma das equações diferenciais que utilizei nos posts de circuitos elétricos. Então resolvi fazer este tutorial para facilitar a vida de todos aqueles que estão com a mesma dúvida. ;)

Bom, para tentar eliminar as dúvidas, vamos encontrar uma solução geral para a equação y’-3.y=6

Existem várias maneiras de resolvê-la. A que eu acho mais legal é a seguinte:

Admitindo que a forma da equação é y’+P(x).y=G(x) temos que:

P(x)=-3

G(x)=6

Assim podemos montar a seguinte equação que utilizaremos na resolução:

u(x)=e∫P(x).dx=e∫-3.dx=e-3.x

Multiplicando a equação y’-3y=6 por u(x)=e-3.x temos:

y’.e-3.x-3.y.e-3.x=6.e-3x

Agora, desenvolvendo matematicamente a expressão teremos:

(y.e-3.x)’=6.e-3x ***

y.e-3.x=∫6.e-3x.dx

y.e-3.x=6.(-1/3).e-3x+C (onde C é uma constante)

y=-2+C.e3.x

*** A dúvida do Mario foi nesta passagem. Como que y’.e-3.x-3.y.e-3.x=(y.e-3.x)’ ?

Bom, a resposta é simples. Vamos resolver a derivada (y.e-3.x)’ para ver o que é que dá.

Para isso vamos utilizar a regrinha que diz que (f.g)’=f’.g+g’.f. (Essa e outras regras de cálculo podem ser encontradas na tabela que eu disponibilizei na área de Downloads).

No nosso caso então:

f=y / f’=y’

g= e-3.x / g’=-3.e-3.x

Assim:

(y.e-3.x)’=f’.g+g’.f=y’.e-3.x–3.e-3.x.y

Prontinho. Encontramos a identidade y’.e-3.x-3.y.e-3.x=(y.e-3.x)’.

Se essa solução fizesse parte de um Problema de Valor Inicial (p.v.i.) no qual y(0)=3, por exemplo, então a solução ficaria:

-2+C.e3.0=3 C=3+2 C=5

Portanto, a solução final ficaria: y=-2+5.e3.x

Então é isso. Espero que tenha ajudado.

Abraços.

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    • Marcelio AtAÍDE
    • 13 novembro, 2009

    Ola!

    Muito obrigado por demonstrar novas formas de resolução das Eq. Diferenciais.
    Me ajudou bastante!

    Abraçs!

      • camilasoares
      • 20 novembro, 2009

      Olá Marcelio…
      Que bom que este poste te ajudou!!!
      Abração.

    • Alex
    • 9 dezembro, 2009

    Boa tarde Camila…eu consigo fazer esses calculos na HP??

      • Denys
      • 12 dezembro, 2012

      O ALEX como vc faz na hp 50g.

    • Ubirajara Cruz
    • 29 março, 2010

    Camila,
    tenho penado com uma equação diferencial de 1ª ordem que infelizmente não consegui resolvê-la por método nenhum. Gostaria de saber se você pode me dar uma ajuda.
    A equação é A.y(x).dy + B.y(x) = C(x).dx onde A,B e C são coeficientes.
    Obrigado,
    Ubirajara

    • João Pedro Tavares de Abreu
    • 2 setembro, 2010

    Camila poderia me ajudar como faço esta resolução na HP poderia me passar um passo a passo.Desde já agradeço e aguardo uma resposta

    • Tchime
    • 15 outubro, 2010

    Quero aprender a resolver equacoesdo terceiro grau

    • Rungue
    • 2 abril, 2011

    gostaria de saber de onde veio esta função. Ela sempre vale para esta categoria de diferenciais?

    u(x)=e^∫P(x).dx

    • PAULO RICARDO BRANDAO
    • 18 abril, 2011

    ola camila

    é possível resolver edo’s (variaveis separaveis,homogeneas,
    exatas,lineares e de bernoulli ) na hp 50g.
    se puder me explicar passo a passo eu agradeço.

    tchau.

  1. eu estou com duvida nesta integral ∫▒〖3^x e^x dx〗

    • eliane carmencita henderson severo
    • 2 dezembro, 2012

    y’+2y=t se resolve da mesma maneira que y’-3y=6??? obrigado achei muito interessante esta ajuda!!

    • eliane carmencita henderson severo
    • 2 dezembro, 2012

    o que quer dizer R(x) e S(x) no poligrafo das diferenciais não homogeneas é só substituir pelo que temos a direita da igualdade??

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