Dedução das equações de energização e desenergização dos indutores utilizando equações diferenciais de primeira ordem

Conforme havia prometido, vou dar continuidade à dedução das equações dos capacitores e indutores em corrente continua. As dos capacitores foram deduzidas no tutorial Dedução das equações de carga e descarga dos capacitores utilizando equações diferenciais de primeira ordem, que pode ser acessado aqui.

Neste tutorial estarei deduzindo as equações dos indutores.

Para o equacionamento das fórmulas correspondentes a energização do indutor, vamos assumir que um indutor totalmente desenergizado é ligado em série a um resistor e a uma fonte de tensão contínua.

Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:

E que a tensão no indutor é dada por:

Por Kirchhoff, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:

Para resolvermos essa equação diferencial de primeira ordem e, assim, isolarmos i(t), dividiremos todos os termos por L:

Como o termo R/L é o inverso da constante de tempo t do circuito, temos:

Assim como já foi falado na dedução das equações dos capacitores, existem diversas maneiras de resolvermos essa EDO. Continuarei utilizando o mesmo método apresentado anteriormente.

Tomando o coeficiente de i, podemos dizer que:

Multiplicando todos os termos da EDO por u(t) e desenvolvendo a expressão temos:

Como i(0)=0, podemos encontrar K resolvendo o PVI:

Assim:

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no resistor é:

E que a tensão no indutor é:

Para encontrarmos as equações correspondentes a desenergização dos indutores, iremos assumir agora que, com o indutor totalmente energizado, a fonte de tensão será retirada do circuito fazendo com que o indutor seja a sua única fonte de corrente e de tensão.

Nessas condições, repetindo as análises que fizemos anteriormente, chegaremos à seguinte EDO:

Resolvendo a EDO teremos:

Resolvendo o PVI onde i(0)=I:

Assim teremos que:

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no resistor é:

E que a tensão no indutor é:

Espero ter sido clara nas explicações.

Abraços e até a próxima…

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    • tatiana
    • 28 agosto, 2011

    Mto bom tbm =D

    • Felipe Garcia
    • 16 outubro, 2014

    Poderia deduzir a função da carga aplicando a relação I(t) = dq/dt?

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