Dedução das equações de carga e descarga dos capacitores utilizando equações diferenciais de primeira ordem

Estava conversando com o meu aluno Mauro há alguns dias, e ele estava comentando como fica fácil de entender as equações dos circuitos RC e RL série quando as deduzimos utilizando equações diferenciais de primeira ordem.

Então, pra quem nunca se aventurou nessa dedução, aí vai…

Nesse primeiro tutorial, estarei deduzindo apenas o circuito RC. O circuito RL ficará para um próximo post.

Para o equacionamento das fórmulas correspondentes a carga do capacitor, imagine que com o capacitor totalmente descarregado, a chave mostrada no circuito abaixo é colocada na posição 1 conectando a fonte E ao circuito.

Nessas condições e sabendo que a queda de tensão no resistor é dada pela equação:

E que a tensão no capacitor é dada por:

E que:

Por Kirchhoff, podemos equacionar a malha da seguinte maneira:

Para resolvermos essa equação diferencial de primeira ordem e, assim, isolarmos q(t), dividiremos todos os termos por R:

Como o termo RC é a constante de tempo t do circuito, temos:

Existem várias maneiras de se resolver essa equação diferencial. Aqui vou utilizar o método que julgo mais simples.

Tomando o coeficiente de q, podemos dizer que:

Multiplicando todos os termos da EDO por u(t) e desenvolvendo a expressão temos:

Como q(0)=0, podemos encontrar K resolvendo o PVI:

Assim:

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no capacitor é:

E que a tensão no resistor é:

E, finalmente, a corrente do circuito pode ser dada por:

Para o equacionamento das fórmulas correspondentes a descarga do capacitor, iremos assumir agora que o capacitor já está totalmente carregado e, assim, passaremos a chave para a posição 2, onde a fonte é desconectada do circuito e o capacitor será descarregado sobre o resistor.

Nessas condições, analisando a nova malha pela lei das tensões de Kirchhoff, e trabalhando matematicamente a expressão, como fizemos anteriormente no caso da carga do capacitor, chegaremos a seguinte EDO:

Resolvendo a EDO teremos:

Resolvendo o PVI onde q(0)=C.V_C onde V_C=E, teremos:

Assim teremos que:

A partir dessa equação podemos deduzir que a tensão no capacitor é:

E que a tensão no resistor é:

E, finalmente, a corrente do circuito pode ser dada por:

Para quem nunca tinha visto essas deduções, à primeira vista elas podem parecer um pouco complicadas, mas depois de bem estudadas, elas se tornam bem mais simples.

Em breve farei a dedução dos circuitos RL série e colocarei aqui pra vocês. Até lá…

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2009

04/07

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Circuitos Elétricos

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Circuitos Elétricos
Matemática

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